3.1020 \(\int \cos ^7(e+f x) (a+a \sin (e+f x))^m (A+B \sin (e+f x)) \, dx\)

Optimal. Leaf size=159 \[ \frac{8 (A-B) (a \sin (e+f x)+a)^{m+4}}{a^4 f (m+4)}-\frac{4 (3 A-5 B) (a \sin (e+f x)+a)^{m+5}}{a^5 f (m+5)}+\frac{6 (A-3 B) (a \sin (e+f x)+a)^{m+6}}{a^6 f (m+6)}-\frac{(A-7 B) (a \sin (e+f x)+a)^{m+7}}{a^7 f (m+7)}-\frac{B (a \sin (e+f x)+a)^{m+8}}{a^8 f (m+8)} \]

[Out]

(8*(A - B)*(a + a*Sin[e + f*x])^(4 + m))/(a^4*f*(4 + m)) - (4*(3*A - 5*B)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5 + m))/(a^5*f
*(5 + m)) + (6*(A - 3*B)*(a + a*Sin[e + f*x])^(6 + m))/(a^6*f*(6 + m)) - ((A - 7*B)*(a + a*Sin[e + f*x])^(7 +
m))/(a^7*f*(7 + m)) - (B*(a + a*Sin[e + f*x])^(8 + m))/(a^8*f*(8 + m))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.166194, antiderivative size = 159, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 3, number of rules used = 2, integrand size = 31, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.065, Rules used = {2836, 77} \[ \frac{8 (A-B) (a \sin (e+f x)+a)^{m+4}}{a^4 f (m+4)}-\frac{4 (3 A-5 B) (a \sin (e+f x)+a)^{m+5}}{a^5 f (m+5)}+\frac{6 (A-3 B) (a \sin (e+f x)+a)^{m+6}}{a^6 f (m+6)}-\frac{(A-7 B) (a \sin (e+f x)+a)^{m+7}}{a^7 f (m+7)}-\frac{B (a \sin (e+f x)+a)^{m+8}}{a^8 f (m+8)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cos[e + f*x]^7*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x]),x]

[Out]

(8*(A - B)*(a + a*Sin[e + f*x])^(4 + m))/(a^4*f*(4 + m)) - (4*(3*A - 5*B)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5 + m))/(a^5*f
*(5 + m)) + (6*(A - 3*B)*(a + a*Sin[e + f*x])^(6 + m))/(a^6*f*(6 + m)) - ((A - 7*B)*(a + a*Sin[e + f*x])^(7 +
m))/(a^7*f*(7 + m)) - (B*(a + a*Sin[e + f*x])^(8 + m))/(a^8*f*(8 + m))

Rule 2836

Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)
*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Dist[1/(b^p*f), Subst[Int[(a + x)^(m + (p - 1)/2)*(a - x)^((p - 1)/2)*(c + (d*x)/b
)^n, x], x, b*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, c, d, m, n}, x] && IntegerQ[(p - 1)/2] && EqQ[a^2 - b^2,
0]

Rule 77

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegran
d[(a + b*x)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && ((ILtQ[
n, 0] && ILtQ[p, 0]) || EqQ[p, 1] || (IGtQ[p, 0] && ( !IntegerQ[n] || LeQ[9*p + 5*(n + 2), 0] || GeQ[n + p + 1
, 0] || (GeQ[n + p + 2, 0] && RationalQ[a, b, c, d, e, f]))))

Rubi steps

\begin{align*} \int \cos ^7(e+f x) (a+a \sin (e+f x))^m (A+B \sin (e+f x)) \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int (a-x)^3 (a+x)^{3+m} \left (A+\frac{B x}{a}\right ) \, dx,x,a \sin (e+f x)\right )}{a^7 f}\\ &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \left (8 a^3 (A-B) (a+x)^{3+m}-4 a^2 (3 A-5 B) (a+x)^{4+m}+6 a (A-3 B) (a+x)^{5+m}+(-A+7 B) (a+x)^{6+m}-\frac{B (a+x)^{7+m}}{a}\right ) \, dx,x,a \sin (e+f x)\right )}{a^7 f}\\ &=\frac{8 (A-B) (a+a \sin (e+f x))^{4+m}}{a^4 f (4+m)}-\frac{4 (3 A-5 B) (a+a \sin (e+f x))^{5+m}}{a^5 f (5+m)}+\frac{6 (A-3 B) (a+a \sin (e+f x))^{6+m}}{a^6 f (6+m)}-\frac{(A-7 B) (a+a \sin (e+f x))^{7+m}}{a^7 f (7+m)}-\frac{B (a+a \sin (e+f x))^{8+m}}{a^8 f (8+m)}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.729528, size = 132, normalized size = 0.83 \[ \frac{(a (\sin (e+f x)+1))^{m+4} \left (-\frac{a^4 (A-7 B) (\sin (e+f x)+1)^3}{m+7}+\frac{6 a^4 (A-3 B) (\sin (e+f x)+1)^2}{m+6}-\frac{4 a^4 (3 A-5 B) (\sin (e+f x)+1)}{m+5}+\frac{8 a^4 (A-B)}{m+4}-\frac{B (a \sin (e+f x)+a)^4}{m+8}\right )}{a^8 f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Cos[e + f*x]^7*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x]),x]

[Out]

((a*(1 + Sin[e + f*x]))^(4 + m)*((8*a^4*(A - B))/(4 + m) - (4*a^4*(3*A - 5*B)*(1 + Sin[e + f*x]))/(5 + m) + (6
*a^4*(A - 3*B)*(1 + Sin[e + f*x])^2)/(6 + m) - (a^4*(A - 7*B)*(1 + Sin[e + f*x])^3)/(7 + m) - (B*(a + a*Sin[e
+ f*x])^4)/(8 + m)))/(a^8*f)

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 13.852, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left ( \cos \left ( fx+e \right ) \right ) ^{7} \left ( a+a\sin \left ( fx+e \right ) \right ) ^{m} \left ( A+B\sin \left ( fx+e \right ) \right ) \, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(f*x+e)^7*(a+a*sin(f*x+e))^m*(A+B*sin(f*x+e)),x)

[Out]

int(cos(f*x+e)^7*(a+a*sin(f*x+e))^m*(A+B*sin(f*x+e)),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)^7*(a+a*sin(f*x+e))^m*(A+B*sin(f*x+e)),x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 2.00434, size = 867, normalized size = 5.45 \begin{align*} -\frac{{\left ({\left (B m^{4} + 22 \, B m^{3} + 179 \, B m^{2} + 638 \, B m + 840 \, B\right )} \cos \left (f x + e\right )^{8} -{\left ({\left (A + B\right )} m^{4} +{\left (17 \, A + 9 \, B\right )} m^{3} + 4 \,{\left (23 \, A + 5 \, B\right )} m^{2} + 160 \, A m\right )} \cos \left (f x + e\right )^{6} - 12 \,{\left ({\left (A + B\right )} m^{3} +{\left (11 \, A + 3 \, B\right )} m^{2} + 24 \, A m\right )} \cos \left (f x + e\right )^{4} - 96 \,{\left ({\left (A + B\right )} m^{2} + 8 \, A m\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} - 384 \,{\left (A + B\right )} m -{\left ({\left ({\left (A + B\right )} m^{4} +{\left (23 \, A + 15 \, B\right )} m^{3} + 2 \,{\left (97 \, A + 37 \, B\right )} m^{2} + 8 \,{\left (89 \, A + 15 \, B\right )} m + 960 \, A\right )} \cos \left (f x + e\right )^{6} + 12 \,{\left ({\left (A + B\right )} m^{3} +{\left (15 \, A + 7 \, B\right )} m^{2} + 4 \,{\left (17 \, A + 3 \, B\right )} m + 96 \, A\right )} \cos \left (f x + e\right )^{4} + 96 \,{\left ({\left (A + B\right )} m^{2} + 2 \,{\left (5 \, A + B\right )} m + 16 \, A\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} + 384 \,{\left (A + B\right )} m + 3072 \, A\right )} \sin \left (f x + e\right ) - 3072 \, A\right )}{\left (a \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m}}{f m^{5} + 30 \, f m^{4} + 355 \, f m^{3} + 2070 \, f m^{2} + 5944 \, f m + 6720 \, f} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)^7*(a+a*sin(f*x+e))^m*(A+B*sin(f*x+e)),x, algorithm="fricas")

[Out]

-((B*m^4 + 22*B*m^3 + 179*B*m^2 + 638*B*m + 840*B)*cos(f*x + e)^8 - ((A + B)*m^4 + (17*A + 9*B)*m^3 + 4*(23*A
+ 5*B)*m^2 + 160*A*m)*cos(f*x + e)^6 - 12*((A + B)*m^3 + (11*A + 3*B)*m^2 + 24*A*m)*cos(f*x + e)^4 - 96*((A +
B)*m^2 + 8*A*m)*cos(f*x + e)^2 - 384*(A + B)*m - (((A + B)*m^4 + (23*A + 15*B)*m^3 + 2*(97*A + 37*B)*m^2 + 8*(
89*A + 15*B)*m + 960*A)*cos(f*x + e)^6 + 12*((A + B)*m^3 + (15*A + 7*B)*m^2 + 4*(17*A + 3*B)*m + 96*A)*cos(f*x
+ e)^4 + 96*((A + B)*m^2 + 2*(5*A + B)*m + 16*A)*cos(f*x + e)^2 + 384*(A + B)*m + 3072*A)*sin(f*x + e) - 3072
*A)*(a*sin(f*x + e) + a)^m/(f*m^5 + 30*f*m^4 + 355*f*m^3 + 2070*f*m^2 + 5944*f*m + 6720*f)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)**7*(a+a*sin(f*x+e))**m*(A+B*sin(f*x+e)),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.36109, size = 1893, normalized size = 11.91 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)^7*(a+a*sin(f*x+e))^m*(A+B*sin(f*x+e)),x, algorithm="giac")

[Out]

-(((a*sin(f*x + e) + a)^7*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m^3 - 6*(a*sin(f*x + e) + a)^6*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m^3 +
12*(a*sin(f*x + e) + a)^5*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m^3 - 8*(a*sin(f*x + e) + a)^4*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^
3*m^3 + 15*(a*sin(f*x + e) + a)^7*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m^2 - 96*(a*sin(f*x + e) + a)^6*(a*sin(f*x + e) + a)^
m*a*m^2 + 204*(a*sin(f*x + e) + a)^5*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m^2 - 144*(a*sin(f*x + e) + a)^4*(a*sin(f*x +
e) + a)^m*a^3*m^2 + 74*(a*sin(f*x + e) + a)^7*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m - 498*(a*sin(f*x + e) + a)^6*(a*sin(f*x
+ e) + a)^m*a*m + 1128*(a*sin(f*x + e) + a)^5*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m - 856*(a*sin(f*x + e) + a)^4*(a*si
n(f*x + e) + a)^m*a^3*m + 120*(a*sin(f*x + e) + a)^7*(a*sin(f*x + e) + a)^m - 840*(a*sin(f*x + e) + a)^6*(a*si
n(f*x + e) + a)^m*a + 2016*(a*sin(f*x + e) + a)^5*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2 - 1680*(a*sin(f*x + e) + a)^4*(a*
sin(f*x + e) + a)^m*a^3)*A/(a^6*m^4 + 22*a^6*m^3 + 179*a^6*m^2 + 638*a^6*m + 840*a^6) + ((a*sin(f*x + e) + a)^
8*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m^4 - 7*(a*sin(f*x + e) + a)^7*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m^4 + 18*(a*sin(f*x + e) + a)
^6*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m^4 - 20*(a*sin(f*x + e) + a)^5*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^3*m^4 + 8*(a*sin(f*x +
e) + a)^4*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^4*m^4 + 22*(a*sin(f*x + e) + a)^8*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m^3 - 161*(a*sin(f
*x + e) + a)^7*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m^3 + 432*(a*sin(f*x + e) + a)^6*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m^3 - 500*
(a*sin(f*x + e) + a)^5*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^3*m^3 + 208*(a*sin(f*x + e) + a)^4*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^4*
m^3 + 179*(a*sin(f*x + e) + a)^8*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m^2 - 1358*(a*sin(f*x + e) + a)^7*(a*sin(f*x + e) + a)
^m*a*m^2 + 3798*(a*sin(f*x + e) + a)^6*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m^2 - 4600*(a*sin(f*x + e) + a)^5*(a*sin(f*x
+ e) + a)^m*a^3*m^2 + 2008*(a*sin(f*x + e) + a)^4*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^4*m^2 + 638*(a*sin(f*x + e) + a)^8
*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m - 4984*(a*sin(f*x + e) + a)^7*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m + 14472*(a*sin(f*x + e) + a
)^6*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m - 18400*(a*sin(f*x + e) + a)^5*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^3*m + 8528*(a*sin(f*x
+ e) + a)^4*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^4*m + 840*(a*sin(f*x + e) + a)^8*(a*sin(f*x + e) + a)^m - 6720*(a*sin(f*
x + e) + a)^7*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a + 20160*(a*sin(f*x + e) + a)^6*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2 - 26880*(a*si
n(f*x + e) + a)^5*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^3 + 13440*(a*sin(f*x + e) + a)^4*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^4)*B/((a^
6*m^5 + 30*a^6*m^4 + 355*a^6*m^3 + 2070*a^6*m^2 + 5944*a^6*m + 6720*a^6)*a))/(a*f)